单线程同步
- 使用socket传输数据
- 使用json序列化消息体
- struct将消息编码为二进制字节串，进行 *** 传输
消息协议
// 输入{ in: "ping", params: "ireader 0"}// 输出{ out: "pong", result: "ireader 0"}客户端 client.py
# coding: utf-8# client.pyimport jsonimport timeimport structimport socketdef rpc(sock, in_, params): response = json.dumps({"in": in_, "params": params}) # 请求消息体 length_prefix = struct.pack("I", len(response)) # 请求长度前缀 sock.sendall(length_prefix) sock.sendall(response) length_prefix = sock.recv(4) # 响应长度前缀 length, = struct.unpack("I", length_prefix) body = sock.recv(length) # 响应消息体 response = json.loads(body) return response<"out">, response<"result"> # 返回响应类型和结果if __name__ == '__main__': s = socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_STREAM) s.connect(("localhost", 8080)) for i in range(10): # 连续发送10个rpc请求 out, result = rpc(s, "ping", "ireader %d" % i) print out, result time.sleep(1) # 休眠1s，便于观察 s.close() # 关闭连接服务端 blocking_single.py
# coding: utf8# blocking_single.pyimport jsonimport structimport socketdef handle_conn(conn, addr, handlers): print addr, "comes" while True: # 循环读写 length_prefix = conn.recv(4) # 请求长度前缀 if not length_prefix: # 连接关闭了 print addr, "bye" conn.close() break # 退出循环，处理下一个连接 length, = struct.unpack("I", length_prefix) body = conn.recv(length) # 请求消息体 request = json.loads(body) in_ = request<'in'> params = request<'params'> print in_, params handler = handlers # 查找请求处理器 handler(conn, params) # 处理请求def loop(sock, handlers): while True: conn, addr = sock.accept() # 接收连接 handle_conn(conn, addr, handlers) # 处理连接def ping(conn, params): send_result(conn, "pong", params)def send_result(conn, out, result): response = json.dumps({"out": out, "result": result}) # 响应消息体 length_prefix = struct.pack("I", len(response)) # 响应长度前缀 conn.sendall(length_prefix) conn.sendall(response)if __name__ == '__main__': sock = socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_STREAM) # 创建一个TCP套接字 sock.setsockopt(socket.SOL_SOCKET, socket.SO_REUSEADDR, 1) # 打开reuse addr选项 sock.bind(("localhost", 8080)) # 绑定端口 sock.listen(1) # 监听客户端连接 handlers = { # 注册请求处理器 "ping": ping } loop(sock, handlers) # 进入服务循环 多线程同步
- 使用线程库thread创建原生线程
- 服务器可并行处理多个客户端
服务端 multithread.py
多进程同步
- Python的GIL导致单个进程只能占满一个CPU核心，多线程无法利用多核优势
- os.fork()会生成子进程
- 子进程退出后，父进程需使用waitpid系统调用收割子进程，防止其成为僵尸资源
- 在子进程中关闭服务器套接字后，在父进程中也要关闭服务器套接字
- 因为进程fork后，父子进程都有自己的套接字引用指向内核的同一份套接字对象，套接字引用计数为2，对套接字进程close，即将套接字对象的引用计数减1
PreForking同步
- 进程比线程耗费资源，通过PreForking进程池模型对服务器开辟的进程数量进行限制，避免服务器负载过重
- 如果并行的连接数量超过了prefork进程数量，后来的客户端请求将会阻塞
但进程异步
- 通过事件轮询API，查询相关套接字是否有相应的读写事件，有则携带事件列表返回，没有则阻塞
- 拿到读写事件后，可对事件相关的套接字进行读写操作
- 设置读写缓冲区
- Nginx/Nodejs/Redis都是基于异步模型
- 异步模型编码成本高，易出错，通常在公司业务代码中采用同步模型，仅在讲究高并发高性能的场合才使用异步模型
PreForking异步
Tornado/Nginx采用了多进程PreForking异步模型，具有良好的高并发处理能力
以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持我们。
时间：2020-07-07
Python中实现远程调用（RPC、RMI）简单例子远程调用使得调用远程服务器的对象. *** 的方式就和调用本地对象. *** 的方式差不多,因为我们通过 *** 编程把这些都隐藏起来了.远程调用是分布式系统的基础. 远程调用一般分为两种,远程过程调用(RPC)和远程 *** 调用(RMI). RPC RPC属于函数级别的远程调用,其多是通过HTTP传输数据,数据形式有XML. *** ON.序列化数据等.在此,用python做一个xml-rpc的示例. 先给服务器端server.py: 复制代码 代码如下: from SimpleXMLRPCServer import S
python使用rpc框架gRPC的 ***概述 gRPC 是谷歌开源的一个rpc(远程程序调用)框架,可以轻松实现跨语言,跨平台编程,其采用gRPC协议(基于HTTP2). rpc: remote procedure call, 翻译过来就是是远程程序调用.具体来说,就是客户端c1需要调用服务器s1上的某个 *** (函数),得到相应的返回值并传递给c1. gRPC协议 要说gRPC协议需要先了解HTTP2, 虽然HTTP1.X 协议至今仍是主流协议,但是随着我们对性能要求越来越高,和web规模的不断扩大,HTTP2就应运而生. 在这里,我们
对python调用RPC接口的实例详解要调用RPC接口,python提供了一个框架grpc,这是google开源的 rpc相关文档: https://grpc.io/docs/tutorials/basic/python.html 需要安装的python包如下: 1.grpc安装 pip install grpcio 2.grpc的python protobuf相关的编译工具 pip install grpcio-tools 3.protobuf相关python依赖库 pip install protobuf 4.一些常见原型的生成
python如何通过protobuf实现rpc由于项目组现在用的rpc是基于google protobuf rpc协议实现的,所以花了点时间了解下protobuf rpc.rpc对于做分布式系统的人来说肯定不陌生,对于rpc不了解的童鞋可以自行google,这里只是做个简单的介绍.rpc的主要功能是让分布式系统的实现更为简单,为提供强大的远程调用而不损失本地调用语义的简洁性.为了实现这个目标,rpc框架需要提供一种透明调用机制让使用者不必显示区分本地调用还是远程调用.rpc架构涉及的组件如下: 客户方像调用本地 *** 一样去调用远程接口 *** ,R
python使用xmlrpc实例讲解RPC是Remote Procedure Call的缩写,翻译成中文就是远程 *** 调用,是一种在本地的机器上调用远端机器上的一个过程( *** )的技术,这个过程也被大家称为"分布式计算",是为了提高各个分立机器的"互操作性"而发明出来的技术. XML-RPC的全称是XML Remote Procedure Call,即XML远程 *** 调用. 它是一套允许运行在不同操作系统.不同环境的程序实现基于Internet过程调用的规范和一系列的实现.这种远程过程调用使用http作为传
在Python中使用gRPC的 *** 示例本文介绍了在Python中使用gRPC的 *** 示例,分享给大家,具体如下: 使用Protocol Buffers的跨平台RPC系统. 安装 使用 pip pip install grpcio pip install grpcio-tools googleapis-common-protos gRPC由两个部分构成,grpcio 和 gRPC 工具, 后者是编译 protocol buffer 以及提供生成代码的插件. 使用 编写protocol buffer 使用 gRPC 首先需要做的是设计 p
python远程调用rpc模块xmlrpclib的 ***RPC(Remote Procedure Call Protocol)是远程调用协议,它通过 *** 请求服务到远端服务器,服务器根据请求做出响应,将结果返回 它是一种C/S模式,客户端可以调用远程服务器上的参数(类似URL)并返回结果 利用rpc可以实现系统的分布式架构,可以将功能分解到多台服务器上进行实现,同时也将也可以将负载打散,分布到不同服务器上,整合计算资源 在openstack中就大量使用了rpc rpc多使用http传输请求,格式有xml,json等,这里是xml 模块: xmlrpcl
python基于xmlrpc实现二进制文件传输的 ***本文实例讲述了python基于xmlrpc实现二进制文件传输的 *** .分享给大家供大家参考.具体实现 *** 如下: 服务器端: from SimpleXMLRPCServer import SimpleXMLRPCServer import xmlrpclib def python_logo(): handle = open("python_logo.jpg",'rb') return xmlrpclib.Binary(handle.read()) handle.close() server
Python基于list的append和pop *** 实现堆栈与队列功能示例本文实例讲述了Python基于list的append和pop *** 实现堆栈与队列功能.分享给大家供大家参考,具体如下: #coding=utf8 ''''' 堆栈: 堆栈是一个后进先出(LIFO)的数据结构. 在栈上"push"元素是个常用术语,意思是把一个对象添加到堆栈中. 删除一个元素,可以把它"pop"出堆栈. 队列: 队列是一种先进先出(FIFO)的数据类型. 新的元素通过"入队"的方式添加进队列的末尾, "出对"就是从
Java基于Socket的文件传输实现 ***本文实例讲述了Java基于Socket的文件传输实现 *** .分享给大家供大家参考,具体如下: 1. Java代码如下: package sterning; import java.io.BufferedInputStream; import java.io.DataInputStream; import java.io.DataOutputStream; import java.io.File; import java.io.FileInputStream; import java.net.Ser
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Python基于pillow判断图片完整性的 ***本文实例讲述了Python基于pillow判断图片完整性的 *** .分享给大家供大家参考,具体如下: 1.安装第三方库. pip install pillow 2.函数示例. #encoding=utf-8 #author: walker #date: 2016-07-26 #summary: 判断图片的有效性 import io from PIL import Image #判断文件是否为有效(完整)的图片 #输入参数为文件路径 def IsValidImage(pathfile): bValid
python基于socket实现 *** 广播的 ***本文实例讲述了python基于socket实现 *** 广播的 *** .分享给大家供大家参考.具体实现 *** 如下: import socket, sys dest = ('<broadcast>', 51423) s = socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_DGRAM) s.setsockopt(socket.SOL_SOCKET, socket.SO_BROADCAST,1) s.sendto("Hi", dest) print &qu
Python基于ThreadingTCPServer创建多线程 *** 的 *** 示例本文实例讲述了Python基于ThreadingTCPServer创建多线程 *** 的 *** .分享给大家供大家参考,具体如下: #coding=utf8 from BaseHTTPServer import BaseHTTPRequestHandler from SocketServer import ThreadingTCPServer import gzip from StringIO import StringIO import logging logging.basicConfig(level
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Python基于dom操作xml数据的 *** 示例本文实例讲述了Python基于dom操作xml数据的 *** .分享给大家供大家参考,具体如下: 1.xml的内容为del.xml,如下 <?xml version="1.0" encoding="utf-8"?> <catalog> <maxid>4</maxid> <login username="pytest" passwd='123456'> <caption>Python
python基于FTP实现文件传输相关功能代码实例这篇文章主要介绍了python基于FTP实现文件传输相关功能代码实例,文中通过示例代码介绍的非常详细,对大家的学习或者工作具有一定的参考学习价值,需要的朋友可以参考下 本实例有文件传输相关功能,包括:文件校验.进度条打印.断点续传 客户端示例: import socket import json import os import hashlib CODE = { '1001':'重新上传文件' } def file_md5(file_path): obj = open(file_path,'rb
大家平时学习Python的时候肯定会遇到很多问题，小编我为大家准备了Python学习资料，将这些免费分享给大家！如果想要的可以找我领取
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你可能遇到了假的更相减损术旧日好友发过来一道题请教：请把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字组成不重复的四位数和五位数，使得：
着实费了小编一番功夫，最后得到一个答案：
实际上这个有趣的数学问题并不是空穴来风，它被称为“塞姆罗德的书架趣题，”来源于美国著名趣题大师塞姆罗德，相传在塞姆罗德小的时候，有人送给他一套《英国历史》，共九卷。他随意地把这套书分放在双层书架上，上层放第6、7、2、9卷，下层放第1、3、4、5、8卷，恰好得到了一个分数为1/2，罗德又用这九卷书重新排列：上层放第5、8、3、2卷，下层放第1、7、4、9、6卷；上层放第4、3、9、2卷，下层放第1、7、5、6、8卷；上层放第2、7、6、9卷，下层放第1、3、8、4、5卷；上层放第2、9、4、3卷，下层放第1、7、6、5、8卷；上层放第2、3、9、4卷，下层放第1、6、7、5、8卷；上层放第3、1、8、7卷，下层放第2、5、4、9、6卷；
上层放第6、3、8、1卷，下层放第5、7、4、2、9卷。正好利用这九个数字得到了七个分数，即：
当然这种答案不是唯一的，实际上我们利用数论中的同余法（或者利用弃九法）可以求出所有答案：
这道题实际上是一道生活中的排列组合问题，分为8个小问题，在这8个小问题中，答案的个数不唯一，最少有2个，最多可以达到46个，是训练孩子们思维的一道不可多得的耐人寻味的经典妙题。
面对如此多而巧的答案，在惊奇自然数如此之巧妙之外，我有丝忐忑，不禁想问，怎么约分啊？
或许是数字较大的问题，很多孩子没有化简，课堂教学时，学生们大声询问，算不算对，会扣几分，在应试教育的前提下，孩子们有这样的想法并不算错，但是对于我这位对数学有“洁癖”的人来说，就会感到有些不舒服，为什么我们不去追求的更完美一些，实际上这个分数很容易看出来公约数，能够较快地约分化为最简。
在人教A版必修3中有介绍国内外的两种求更大公约数的 *** ：辗转相除法和更相减损术。实际上求更大公约数的 *** 就是约分，将分子分母同时除以它们的更大公约数，就可以得到最简分数。（也可以求出两数的最小公倍数，利用两数之积等于它们的更大公约数与最小公倍数之积），今天，我们来谈谈我国的更相减损术。
“更相减损术”记载在公元1世纪前后、我国最重要的数学文献《九章算术》之一章“方田”中。《九章算术 方田》第六题：“有九十一分之四十九。问约之得几何？答曰：十三分之七。术日：可半者半之。不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之”。这是《九章算术》对约分 *** 的完整总结。也就是说“更相减损术”的出现最初就是为了解决约分的问题。
课本上对更相减损术的解释：之一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。
第二步，以较大数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的更大公约数。
如：求120与144的更大公约数。
120÷2=60，144÷2=72
60÷2=30， 72÷2=36
30÷2=15， 36÷2=18
18-15=3
15-3=12
12-3=9
9-3=6
6-3=3
则3×2×2×2=24为120与144的更大公约数。
记得当初初次教学时就对这一 *** 进行研究，当时还讨论过为什么要有“可半者半之”这句话，半者之后最后还要乘上去，似乎有些麻烦，实际上我们在操作过程中完全可以把这句话舍去称为“副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。”仍是求更大公约数的 *** ，我们不妨起个名字叫做“辗转相减法”，翻译成现代语言如下：任意给定两个正整数，以较大数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的更大公约数。
譬如我们仍解决120与144的更大公约数。
144-120=24
120-24=96
96-24=72
72-24=48
48-24=24
则24为120与144的更大公约数。我们会发现这样做用到的减法次数和更相减损术是一样的，并且少了除以2和乘以2的步骤，那么为什么更相减损术要以2约之呢？当然有一个很有利的说服就是把大数变小，解决较小数的减法运算，难道仅仅是这个原因吗？当时我们学科教师也曾为这个问题争论，不急，我们慢慢道来。
先说这个所谓的辗转相减法最后得到的那个等数为什么就是两个正整数的更大公约数呢？
实际上这就是“初等数论”中的一些原理：
这种 *** 就变成“辗转相除法”，又叫做“欧几里得算法”。是公元前300年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》中提出的。
也就是说，古希腊的“辗转相除法”是中国古代“辗转相减法(更相减损术)”的一个简洁表示的形式。它们在理论上是一致的，明显看出，“辗转相减法”和“辗转相除法”都是求更大公约数的 *** 。从计算上看，辗转相除法以除法为主；更相减损术以减法为主。计算次数上辗转相除法计算次数相对较少。特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。从结果体现形式来看：辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到。而更相减损术则以减数与差相等而得到。
实际上，更相减损术有着自己独特的优势，例如在求四个数1008，1260，882，1134的更大公约数，可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数减去较小的数，如果出现完全相同的余数，则这个余数就是所求的更大公约数。上诉四个数的更大公约数（1008，1260，882，1134）
=（1008-882，1260-1134，882，1134-882）=（126，126，882-6×126，252-126）=（126，126， 126，126）=126。
我们再回头看看，更相减损术的原文记载：术日：可半者半之，不可半者，副置子、母之
数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。——《九章算术·卷之一方田》
如何理解这个“可半者半之”。
我的理解是更相减损术的初衷是为了解决约分问题，而整数的奇偶性是可以一眼看出来的，所以首先约之，至于其他的约数不易判断，所以更相减损也就是说，不一定用2约之，其他的仍是成立的，譬如，求1850与13875的更大公约数：
但是这样的考虑，是解释了“可半者半之”，但是原文内还有“更相减损”，如何理解“更相”？
我的理解是：当两数中仅一数为偶数时，直接用2约简。这样，“更相减损”一句也豁然贯通了：“减”即指“以少减多”；“损”即指“可半者半之”；“更”即指“减、损”两操作交替进行(显然，这里“减”必然是两个奇数相减，其差必为偶数，因此每次“减”后必然有“损”的操作)。
接下来，我们用三种 *** 来解决《九章算术》中的问题：今有九十一分之四十九，问约之得几何？
辗转相除法：
91=49×1+42
49=42×1+7
42=7×6+0
则7为91与49的更大公约数。
更相减损术（课本记载），含辗转相减法：
91-49=42
49-42-7
42-7=35
35-7=28
28-7=21
21-7=14
14-7=7
则7为91与49的更大公约数。
修订后的更相减损术（体现更相）：
91-49=42（减），42÷2=21（损）
49-21=28（减），28÷2=14，14÷2=7（损）
21-7=14（减），14÷2=7（损）
则7为91与49的更大公约数。
从这一运算效果来看： “减”的主要目的是生成偶数，“损”才是减小数值的主要途径(这一点在数值较大的运算中尤为明显)。
说实话，小编更愿意相信：我国的智慧更超前、更领先、更先进。谈不上固步自封，但是我为我是中华儿女而骄傲！！！！！
多项式公因式的性质
要想证明这个定理，就需要知道如何求出两个多项式的更大公因式。
求两个多项式的更大公因式我们一般使用辗转相除法，类似于求两个数的更大公因数。
例如求108与180的更大公因数，我们可以使用辗转相除法
180=108×1+72
108=72×1+36
72=36×2
所以，36就是108和180的更大公因数。
我们也可以将这个 *** 用到求多项式的更大公因式上。
f(x)与g(x)是两个多项式，如果f(x)的次数小于g(x)的次数，则用辗转相除法求f(x)和g(x)的更大公因式的 *** 如图一所示
图一
证明多项式公因式的性质
根据图一中的第k个式子，我们可以得到
r?(x)=r???(x)-r???(x)q?(x)
我们令u?(x)=1，v?(x)=-q?(x)
于是，r?(x)=r???(x)u?(x)+r???(x)v?(x)
根据图一中的第k-1个式子，我们可以得到
r???(x)=r???(x)-r???(x)q???(x)
从而，r?(x)=r???(x)u?(x)+r???(x)v?(x)
=r???(x)u?(x)+
=r???(x)v?(x)+
我们令u?(x)=v?(x)，
v?(x)=u?(x)-q???(x)v?(x)
于是，r?(x)=r???(x)u?(x)+r???(x)v?(x)
我们可以根据图一中的式子，以此类推下去，最终可以得到
r?(x)=f(x)u?(x)+g(x)v?(x)
在数域F中会存在一个不为零的数c，使得 cr?(x)为更高次项系数是1的多项式
我们令d(x)=cr?(x),u(x)=u?(x),v(x)=v?(x)
所以，d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)
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判断两正整数是否互质，即判断两正整数的更大公约数是否为1。若两正整数的更大公约数为1，则两正整数互质。
这里通过用辗转相除法来求解两正整数的更大公约数。
1、Matlab代码
2、运行结果
如下图所示，17与6互质，18与6的更大公约数为6，15与6的更大公约数为3。
一、任务描述
在tIA Portal（博图）软件里面，使用SCL语言，求两个整数的更大公约数，并输出更大公约数。
二、辗转相除法
辗转相除法，是指用于计算两个非负整数a，b的更大公约数。
辗转相除法的流程：
① 如果 a<b 交换a 与b的值
② a对b求余数c
③ 若 c=0 则b为两个数的更大公约数
④ 若 c≠0 则a=b，b=c 再回去执行②步
二、S7-1200程序编写
1.启动TIA Portal（博图）软件，创建新项目，修改项目名称、路径等信息，完成新项目的创建。
2.进入项目视图，双击“项目树”下的“添加新设备”，在弹出的添加新设备对话框中选择CPU 1215C DC/DC/DC，选择供货号后，单击“确定”按钮，完成设备的添加。
3.双击“项目树”-“PLC_1”-“程序块”的“添加新块”，在“添加新块”对话框中选择“FB函数块”，修改名称和语言，单击“确定”按钮，如下图所示。
4.在FB函数块的接口处定义4个变量，分别一个输入（触发信号）、一个输出信号（更大公约数）、两个静态变量（余数c和数据交换变量change），如下图所示。
有两个自然数a和b，如果a能被b整除，那么，b就叫做a的约数。
两个或多个自然数的共有约数中更大的一个，叫做它们的更大公约数，也称更大公因数、更大公因数。
求更大公约数有多种 *** ，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、辗转相减法、更相减损法等。
【问题】
输入两个正整数x和y，求它们的更大公约数。
【编程解题】
下面我们使用辗转相除法求出两个数的更大公约数。
辗转相除法
辗转相除法的算法步骤：给定两个正整数x、y（x>y），用x除以y等到余数z。如果余数z不为0就将y和z构成新的一组数（x=y，y=z），继续上的除法操作，直到余数z为0，这时y就是原来两个正整数的更大公约数。
由于这个算法需要反复执行除法运算，所以被形象地命名为“辗转相除法”。
举例说明，用辗转相除法求255,75的更大公约数。
给定两个数：255,75
之一次：用255除以75，余数30；
第二次：用75除以30，余数15；
第三次：用30除以15，余数0；
这个时候我们得出255和75的更大公约数是15.
Scratch编程实现算法：
根据上面的算法步骤，我们编写一个名为“辗转相除法”的模块，用来求两个数的更大公约数。该模块的完成代码如下：
下面编写调用“辗转相除法”模块的主程序，用来求255和75的更大公约数。主程序代码如下：
点击小绿旗运行程序，求得255和75的更大公约数是15。
五年级是小学数学的一个重要阶段，知识点开始系统化井喷式猛增，而且是抽象思维强化阶段。原来经常考满分的同学，到了五年级就有些难度了。不但要求对所学的数学知识点要理解透彻，基础坚实，而且题型的变化对孩子思维严谨性和拓展性要求也增加了。我是王老师，专注于小学数学！现在是五年级刚开始授课阶段，针对于五年级数学，以下是我的举实例浅谈下学习 *** 。
五年级知识树
人教版五年级上册
① 做好预习，认真听讲
五年级很多新知识点，是和以前学的知识点有联系的，要抓住新知识点的增长点在哪里？多结合以前学过的知识点去掌握理解。比如多边形面积单元，实际上是综合长方形，正方形，三角形，平行四边形，梯形这些图形面积，再加以延申至组合图形的面积。
这就是知识整合的一个体现。既要求基础，也有综合，也有拓展，要适应这种变化。
具体可教孩子一些结构图来整理下已学的知识。重点不是记公式，而是利用转化的思想进行推导和关联。
整数除法 → 小数除法
小数的分类
跟紧老师课上的思路，多听其他同学的提问发言。顺着思路，自己是否有需要补充的并积极发言，让思维活跃起来。
② 善于思考，多思路多 *** 去解题
教会孩子思考，是最有价值的。比如我讲两个例子，通过不同 *** 来思考知识点本质。
→ 比较分数大小的其他 ***
→ 辗转相除法求更大公因数
根据题意手画示意图，拿实物辅助理解等。手动的同时并联着思维，多动手，细观察，从而找到正确的解题方向。打个比方，正方体的展开图。完全可以通过找个纸盒动手剪一下，看你能否全部剪出以下11种不同展开图。
五年级上册知识点，完整电子版，关注后私信：五年级
欢迎关注王老师的头条号
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更大公因数的二三事
2018年7月22日星期日
五年级数学的“因数与倍数”及其后续知识，难煞许多小朋友。大抵除了态度、努力的差别，这部分内容概念众多、线索隐晦、与小朋友熟悉的生活问题联系匮乏，也是值得发掘的原因。抽象思维的特点就是运用概念进行思考、判断、推理。对此有困难的，说明您的思维正处于痛苦的转型期，熬过去，就会柳暗花明。当然，选择这个话题，也是我兴之所致，随性而为。希望对小朋友们有所帮助。
谈到“更大公因数”，您脑子里更先蹦出的是什么？
……
……
……
……
……
……
如果是“短除法”，说明您和我想到一块了。对此，您应当充满自信和欣慰。求更大公因数的 *** 正是今天话题的核心。首先让我们寻根溯源，找找“更大公因数”是哪根藤上结出的瓜。
回顾我们曾经做过的自然数的除法——大量地、不厌其烦的除法，您会认同以下的发现。当然，在此之前，我们更好先将0从自然数家族中剔除：0总是扮演“坏蛋”的角色——它不能做除数、不能做分母、不能做比的后项，不能做自然数的更高位，走到哪，就在哪“捣乱”；0混进自然数的家族，至今存在异议，许多数学“大牛”对此都持保留意见。但，最主要的是，我们已经不想和这个“坏蛋”纠缠太多。
自然数的除法分为三种情况：
1.商为整数无余数，如：6÷2＝3；
2.商为有限小数，如：10÷8＝1.25；
3.商为无限循环小数，如：1÷7＝0.142857 142857……。
显然，这是在将数系由自然数扩张到小数的情况下进行的讨论。所谓“自然数的除法”，我们只是对被除数、除数的约束，而非对其结果的限制。如果是那样，2、3应当合并为“有余数的除法”。
上述三种除法中，第1种是最漂亮的：被除数、除数、商都是自然数，且没有余数。如果除数和商还是一位数的话，就是我们最喜欢的“表内乘除法”。对这种漂亮的除法，我们起个名字叫做“整除”。在整除这条“根”上，将生长出“因数与倍数”等一系列茁壮的茎和丰硕的果实。如果您在学习上也不“忘本”的话，您也会是一个让人尊重的人。
整除“妈妈”生了两个孩子：因数和倍数。6÷2＝3，我们说：6被2整除，或2整除6；我们定义：6是2的倍数，2是6的因数。因数和倍数就像“爸爸”、“妈妈”、“儿子”、“女儿”……这些概念一样，表示的是一种关系，而非具体事物的名称。“甲是爸爸”与“6是倍数”的错误是一样的，应当说“甲是谁的爸爸”、“6是谁的倍数”。您能理解的是：没人敢给自己取名叫做“爸爸”。
从此，“因数”与“倍数”蓬勃发展，衍生出了许许多多“悲壮”的东西。我们略用一张图示，傲视它们，寻找一种“弹指间灰飞烟灭”的虚妄感觉。
深入认识自然数，为分数四则运算奠定基础，是这部分知识重要的目的和归宿。“公因数”所以多了一个“公”字，是因为研究角度的变化：由寻找一个自然数的因数变化为寻找两个或更多的自然数的相同的因数。“更大”公因数说明，在一众“公因数”中，鹤立鸡群的“老大”才是最突出的、最有意义的。求取两个或多个自然数的更大公因数，基于这些原生概念，又有新的思维 *** 。不要过分自恋于已经知道的知识和掌握的 *** ，在我们的思维还没有提升到新的层次时，我们无法准确、全面、深入地了解自己的幼稚。这句话或将成为您阅读本文更大的收获。
以下的做法，目的在于“删繁就简，抓主要矛盾”。
（一）符号约定。8和12的更大公因数，记为：（8，12）＝4；最小公倍数记为：［8，12］＝24。一个用圆括号，一个用方括号，数字间以逗号隔开。计算机的世界里又有以下表示：更大公因数：gcd（8，12）＝4，最小公倍数：lcm（8，12）＝24。“gcd、lcm”分别是英文“更大公因数、最小公倍数”的单词的首字母，计算机里以其为函数名或命令名。
（二）情况简化。求多个自然数的更大公因数或最小公倍数的问题都可以转化为求两个自然数的gcd或lcm。例如：
（8，12，16）＝（（8，12），16）＝（4，16）＝4
［8，12，16］＝［［8，12］，16］＝［24，16］＝48
您看明白其中化归的思路了吗？如果要求3个自然数a、b、c的更大公因数（最小公倍数同），我们可以先随便拿出其中两个数求取更大公因数g1，然后再用g1与第三个数再次求取更大公因数，设为g，就是这3个自然数的更大公因数。
（a，b，c）＝（（a，b），c）＝（a，（b，c））＝（（a，c），b）
（a，b，c）＝（（a，b），c）＝（g1，c）＝g
因此，我们只需重点讨论如何求取两个自然数的更大公因数就可以了，拓展时要做的就是：再来一遍、再来一遍、再来一遍……
*** 一：列举法
有时，我不认为这是求更大公因数的 *** ，它是用来阐释概念的。
（8，12）＝？
①列举8的所有因数：1、2、4、8；
②列举12的所有因数：1、2、3、4、6、12；
③列举公因数：1、2、4；
④找出更大公因数：4。
（8，12）＝4。
仅此一例，聪明的您便会理解一系列概念。
*** 二：短除法
下图是人教版五年级《数学》下册56页、61页的课外知识介绍：
人教五数下册56页
人教五数下册61页
显然，这是重要的，老师们会将其重新搬回课堂。此处不再赘述。我们将重点放在“短除法”的理解上。
对比一下除法竖式和短除号：
短除号其实是竖式除号的颠倒，除数依旧在左边，被除数依旧在里面，商从上面移到下面。我曾想：这个除法哪“短”呢？聪明的您是否找到了线索：正常的竖式除法要经历试商、乘积、求差、比较余数和除数4个小步骤，“短除法”省略了后面3个步骤，是一种直接写商的除法。这岂止是“短”了，那是“相当的短”了！为何如此？因为短除法的特点在于除法的继续施加，可以循环往下，重复第二次、第三次……上一步的商旋即变为下一步的被除数，如果将这个过程用普通除法竖式表达出来，会写啰嗦的一大堆，如下图：
简便是短除法的优点，但也有代价。如果被除数很大，心算弱的小朋友估计得借助于普通除法竖式另行求商。相信，您会对此感同身受。
利用短除法求取两个自然数的更大公因数，其实质是对这两个自然数作质因数分解，而且首先罗列相同的质因数。教材61页示例：（24，36）＝12的计算过程，同以下：
24＝（2×2×3）×2
36＝（2×2×3）×3
质因数分解是具有“标准形式”的，比如：将质因数从小到大排列，以幂次方乘积的形式表达（以后有工夫了，详细讨论）。利用短除法求更大公因数，打乱了这种标准形式：它将两个自然数相同的质因数排在前面，不同的质因数过滤在后。这种“相同”是建立在一一对应的基础上的，能够对应的更大部分的乘积即为两个自然数的gcd。
掌握这种 *** 会让小学时期的我们自信满满、神采奕奕。
*** 三：辗转相除法
这个 *** 其实是我国古代“更相减损术”的小升级，如图：
人教五数下册67页
如果上面的话让您感到费解，是因为您没有拿起纸和笔举例子。（77，21）＝？我们智慧的古人依靠一串减法就求出了结果：
77－21＝56
56－21＝35
35－21＝14
21－14＝7
14－7＝7
当差等于减数时，这个“等数”7就是77和21的更大公因数。您是否有点惊讶、不习惯、反感？它始终在遵循“大减小”的规则，写成分数的形式或许更好一点：
然而更为简便的是古希腊数学家欧几里得发明的“辗转相除法”，原因只是：连续施加多次的减法，可以用除法一步到位！上例变为：
77÷21＝3……14
21÷14＝1……7
14÷7＝2……0
余数为0时停止，最后一步的除数即为两数的更大公因数。
请注意，“辗转”的具体意思是：上一步的除数变为下一步的被除数，上一步的余数变为下一步的除数，反复施加直至整除，取最后一步的除数作为结果。再看一例：
（72072，100548）＝？
①100548÷72072＝1……28476
②72072÷28476＝2……15120
③28476÷15120＝1……13356
④15120÷13356＝1……1764
⑤13356÷1764＝7……1008
⑥1764÷1008＝1……756
⑦1008÷756＝1……252
⑧756÷252＝3
（72072，100548）＝252
您可以用“短除法”对比一下。或许，您并不觉得“辗转相除法”是优秀的 *** ，我也可以明确的声明：本文并不打算教会小朋友这些。但我想说明的是：好坏的评判取决于面对的问题情境。一个大数的质因数分解，甚至判断这个大数是不是质数，是一个被称做“np难题”的东西，简言之，就是计算机也无法在确定、已知、有限的时间内完成。譬如我们要判断397是不是质数，最笨、最暴力的 *** 是让计算机逐个检验2～396，在这种情况下：
1位数，检测10次左右；
2位数，检测10×10次左右；
3位数，检测10×10×10次左右；
……
这种困难度是以指数级增加的，理论数学的世界里，10000位长度的数字也是微不足道的。
您也许已经感受到了算法的重要，好的算法已经演化为当今世界的“核心竞争力”，这个意识小朋友应当要有的，就好比“数学王子”高斯在小时候做“1＋2＋3＋……＋99＋100”时用到的 *** 那样。“质数判断”于本文是节外生枝，那扇门的背后，全是拼尽智商的东西，似我等，唯一的收获就是证明自己的“平凡”。希望存在于一代代“天才”的小朋友们身上。如果您进入计算机的世界——您一定会进入——可以提前有所认识的。对于求更大公因数，如果用“列举法”、“短除法”的思路编写能够让计算机执行的代码，“小白”如我，是会感到茫然和束手无策的。然而用“辗转相除法”的算法思路写出的代码，却只需10行左右就够了。到那时，您会真正发现“算法”的神奇！
有好奇与探索相伴的人生是精彩的，就好比旅行途中发现别样的风景一样。
再会。
弱水三千，只需取一瓢饮，学习中国古代数学的算法案例：辗转相除法与更相减损术，学会了求更大公因数很方便！
1.辗转相除法
(1)辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的更大公约数的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤
之一步，给定两个正整数m，n
第二步，计算m除以n所得的余数r
第三步，m＝n，n＝r
第四步，若r＝0，则m，n的更大公约数等于m；否则，返回 第二步
2.更相减损术
之一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用 2 约简；若不是，执行第二步.
第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的更大公约数.
3.辗转相除法和更相减损术的区别与联系：
例 分别用辗转相除法和更相减损术求261和319的更大公约数.
解 *** 一 (辗转相除法)
319÷261＝1(余58)，
261÷58＝4(余29)，
58÷29＝2(余0)，
所以319与261的更大公约数为29.
*** 二 (更相减损术)
319－261＝58，
261－58＝203，
203－58＝145，
145－58＝87，
87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的更大公约数是29.
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先上答案：不晚。首先孩子成绩还可以，说明课本知识的掌握还是不错的，是有基础的；另外奥数都是各大类分散的知识点。不管三年级开始学，或四、五年级开始学，只要感兴趣，学习 *** 对路。都一样能学会。最后，从知识点体系分步和孩子思维发展阶段来看，五年级涉及的知识点最多，时间点也符合。我是王老师，专注于小学数学！下面详细介绍下五年级奥数数论版块学习的内容，可以让孩子先试试，供您参考！
五年级奥数知识点体系之数论版块
五年级孩子头脑发育水平和六年级甚至初一学生没太大区别，这个年龄段孩子思维活跃，基础知识储备也OK，是锻炼抽象思维能力很好的时段，从小升初备考角度，也是一个好的时间切入点。就拿数论模块来讲吧。
① 整除特性
2，3，4，5，7，8，9，11，13的整除特点
② 质数与合数
质因数分解，因数个数公式，乘积尾数0的个数判别 *** ，更大公因数，最小公倍数求法，（短除法和辗转相除法)等知识点。
③ 余数问题
结合整除特性，认识特殊数的余数判定 *** ，余数三大定理的运用，物不知数问题等。
④ 完全平方数
在另一个问答种我详细介绍了，欢迎去查阅。
⑤ 进位制与位值原理
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